미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼차함수 미분계수

문제

최고차항의 계수가 11인 삼차함수 f(x)f ( x )와 실수 aa가 다음 조건을 만족시킬 때, f′(a)f' ( a )의 값을 구하시오. [4점]

(가) f(a)=f(2)=f(6)f ( a ) = f ( 2 ) = f ( 6 ) (나) f′(2)=−4f' ( 2 ) = - 4

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해설

[출제의도] 삼차함수의 그래프를 이용하여 미분계수를 구한다. 조건 (가)에서 f(a)=f(2)=f(6)=kf ( a ) = f ( 2 ) = f ( 6 ) = k로 놓으면 f(a)−k=f(2)−k=f(6)−k=0f ( a ) - k = f ( 2 ) - k = f ( 6 ) - k = 0 g(x)=f(x)−kg ( x ) = f ( x ) - k라 하면 g(a)=g(2)=g(6)=0g ( a ) = g ( 2 ) = g ( 6 ) = 0 g(x)=(x−a)(x−2)(x−6)g ( x ) = ( x - a ) ( x - 2 ) ( x - 6 ) 그러므로 f(x)=(x−a)(x−2)(x−6)+kf ( x ) = ( x - a ) ( x - 2 ) ( x - 6 ) + k f(x)f ( x )를 미분하면 f′(x)=(x−2)(x−6)+(x−a)(x−6)+(x−a)(x−2)f' ( x ) = ( x - 2 ) ( x - 6 ) + ( x - a ) ( x - 6 ) + ( x - a ) ( x - 2 ) 조건 (나)에서 f′(2)=−4f' ( 2 ) = - 4이므로 −4(2−a)=−4- 4 ( 2 - a ) = - 4 ∴ a=1a = 1 ∴ f′(a)=(a−2)(a−6)=(−1)×(−5)=5f' ( a ) = ( a - 2 ) ( a - 6 ) = ( - 1 ) \times ( - 5 ) = 5

태그

#삼차함수#도함수

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