미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼차함수 증가 조건

문제

삼차함수 f(x)=x3+ax2+2axf ( x ) = x ^{3} + ax ^{2} + 2 ax가 구간 (−∞,∞)\left( - \infty , \infty ) \right.에서 증가하도록 하는 실수 aa의 최댓값을 MM이라 하고, 최솟값을 mm이라 할 때, M−mM - m의 값은? [4점] ①33②44③55④66⑤77

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④

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해설

주어진 삼차함수 f(x)=x3+ax2+2axf ( x ) = x ^{3} + ax ^{2} + 2 ax가 실수 전체 구간에서 증가하도록 하려면, 도함수인 f′(x)f' ( x )가 f′(x)=3x2+2ax+2a≥0f' ( x ) = 3 x ^{2} + 2 ax + 2 a \geq 0을 모든 실수에 대해 항상 만족해야 한다. 그러므로 판별식을 이용하면, D4=a2−6a≤0\displaystyle {\frac{D}{4}} = a ^{2} - 6 a \leq 0이 된다. 그러므로, 0≤a≤60 \leq a \leq 6이 된다. 따라서 최대값은 6, 최소값은 0이므로, 구하는 M−m=6M - m = 6

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#증가함수#판별식

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