삼차함수 접선 조건

최고차항의 계수가 $1$이고 $f \left( 0 \right) = 0$인 삼차함수 $f \left( x \right)$를 $f \left( x \right) = x ^{3} + px ^{2} + qx$ ($p$, $q$는 상수) 라 하면 $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} + 2 px + q$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a} {} \frac{f \left( x \right) - 1}{x - a} = 3$에서 $x \rightarrow a$일 때 (분모)$\rightarrow 0$이고 극한값이 존재하므로 (분자)$\rightarrow 0$이다. 즉 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a} {\left\{ f \left( x \right) - 1 \right\}} = 0$에서 $f \left( a \right) = 1$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a} {} \frac{f \left( x \right) - f \left( a \right)}{x - a} = 3$에서 $f' \left( a \right) = 3$ 즉 곡선 $y = f \left( x \right)$ 위의 점 $\left( a , f \left( a \right) \right)$에서의 접선의 방정식은 $y - f \left( a \right) = f' \left( a \right) \left( x - a \right)$에서 $y = 3 \left( x - a \right) + 1$ 이 직선의 $y$절편이 $4$이므로 $- 3 a + 1 = 4$, $a = - 1$ 즉 $f \left( - 1 \right) = 1$에서 $- 1 + p - q = 1$, $p - q = 2$ $f' \left( - 1 \right) = 3$에서 $3 - 2 p + q = 3$, $- 2 p + q = 0$ 두 식을 연립하여 풀면 $p = - 2$, $q = - 4$ 따라서 $f \left( x \right) = x ^{3} - 2 x ^{2} - 4 x$이므로 $f \left( 1 \right)$$= 1 ^{3} - 2 \times 1 ^{2} - 4 \times 1$ $= - 5$