미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

삼차함수 접선 정사각형

문제

그림과 같이 정사각형 $ABCD$ 의 두 꼭짓점 $A$ , $C$ 는 $y$ 축 위에 있고, 두 꼭짓점 $B$ , $D$ 는 $x$ 축 위에 있다. 변 $AB$ 와 변 $CD$ 가 각각 삼차함수 $y = x ^{3} - 5 x$ 의 그래프에 접할 때, 정사각형 $ABCD$ 의 둘레의 길이를 구하시오. [4점]

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32

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해설

삼차함수 $y = x ^{3} - 5 x$ 에 접하는 $\displaystyle \overline{AB}$ 와 $\displaystyle \overline{CD}$ 가 기울기가 $1$ 이므로 $y' = 3 x ^{2} - 5 = 1$ 에서 $\displaystyle x = \pm \sqrt{2}$ 이고, 접점의 좌표는 $\displaystyle \left( - \sqrt{2} , 3 \sqrt{2} \right)$ , $\displaystyle \left( \sqrt{2} , - 3 \sqrt{2} \right)$ 이다. 따라서 $\displaystyle \overline{AB}$ 는 $\displaystyle y = x + 4 \sqrt{2}$ , $\displaystyle \overline{CD}$ 는 $\displaystyle y = x - 4 \sqrt{2}$ 따라서 한 변의 길이는 $8$ , 둘레는 $32$ 이다.

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