삼차함수 접선 교점

[출제의도] 미분계수를 이용하여 접선의 방정식의 성질을 알고 주어진 값을 구한다. $f ( x ) = x ^{3} + ax$를 미분하면 $f' ( x ) = 3 x ^{2} + a$ 곡선 $y = f ( x )$ 위의 점 $\mathrm{A}$에서의 접선의 기울기는 $f' ( - 1 ) = 3 + a$ 곡선 $y = f ( x )$ 위의 점 $\mathrm{A}$에서의 접선의 방정식은 $y = ( 3 + a ) ( x + 1 ) + ( - 1 - a )$ 이 접선이 곡선 $y = f ( x )$와 만나는 점을 구하면 $x ^{3} + ax = ( 3 + a ) ( x + 1 ) + ( - 1 - a )$ $x ^{3} - 3 x - 2 = 0$, $( x + 1 ) ^{2} ( x - 2 ) = 0$ ∴ $b = 2$ 따라서 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $( 2 , 8 + 2 \mathit{a} )$이다. 마찬가지로 점 $\mathrm{B}$에서의 접선의 방정식은 $y = ( 12 + a ) ( x - 2 ) + ( 8 + 2 a )$ 이 접선이 곡선 $y = f ( x )$와 만나는 점을 구하면 $x ^{3} + ax = ( 12 + a ) ( x - 2 ) + ( 8 + 2 a )$ $x ^{3} - 12 x + 16 = 0$, $( x - 2 ) ^{2} ( x + 4 ) = 0$ ∴ $c = - 4$ 주어진 조건에서 $f ( b ) + f ( c )$$= f ( 2 ) + f ( - 4 )$$= 8 + 2 a - 64 - 4 a$$= - 80$ ∴ $a = 12$ [다른 풀이] 점 $\mathrm{A}$에서의 접선의 방정식을 $y = g ( x )$라 하면 $f ( x ) - g ( x ) = ( x + 1 ) ^{2} ( x - b )$ $g ( x )$는 일차식이므로 $f ( x ) - g ( x )$는 이차항을 갖지 않는다. 즉, 이차항의 계수는 $0$이므로 $- b + 2 = 0$ ∴ $b = 2$ 점 $\mathrm{B}$에서의 접선의 방정식을 $y = h ( x )$라 하면 $f ( x ) - h ( x ) = ( x - 2 ) ^{2} ( x - c )$ 마찬가지로 이차항의 계수는 $0$이므로 $- c - 4 = 0$ ∴ $c = - 4$ 따라서 $f ( b ) + f ( c )$$= f ( 2 ) + f ( - 4 )$$= - 56 - 2 a = - 80$ ∴ $a = 12$