미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼차함수 정적분 보기

문제

삼차함수 f(x)=x3−4xf \left( x \right) = x ^{3} - 4 x의 그래프를 xx축에 대하여 대칭이동한 곡선을 y=g(x)y = g \left( x \right)라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기>
ㄱ. ∫−11f(x)dx=0\displaystyle \int _{- 1} ^{1} {f ( x ) dx} = 0 ㄴ. ∫−10f(x)dx+∫01g(x)dx=72\displaystyle \int _{- 1} ^{0} {f \left( x \right) dx + \int _{0} ^{1} {g \left( x \right) dx}} = \frac{7}{2} ㄷ. 방정식 ∫0xg(t)dt=∫0xf(t)dt+3\displaystyle \int _{0} ^{x} {g ( t ) dt} = \int _{0} ^{x} {f \left( t \right) dt} + 3은 열린 구간 (0,1)\left( 0 , 1 \right) 에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 정적분을 활용하여 추론하기 f(−x)=−f(x)f \left( - x \right) = - f \left( x \right), g(x)=−f(x)g ( x ) = - f ( x )이므로 ㄱ. ∫−11f(x)dx=0\displaystyle \int _{- 1} ^{1} {f ( x ) dx} = 0 (참) ㄴ. ∫−10f(x)dx+∫01g(x)dx\displaystyle \int _{- 1} ^{0} {f ( x ) dx} + \int _{0} ^{1} {g ( x ) dx} =−∫01f(x)dx−∫01f(x)dx\displaystyle = - \int _{0} ^{1} {f ( x ) dx} - \int _{0} ^{1} {f ( x ) dx} =−2∫01f(x)dx\displaystyle = - 2 \int _{0} ^{1} {f ( x ) dx} =−2[14x4−2x2]01=72\displaystyle = - 2 \left[ \frac{1}{4} x ^{4} - 2 x ^{2} \right] _{0} ^{1} = \frac{7}{2} (참) ㄷ. h(x)=∫0xg(t)dt−∫0xf(t)dt−3\displaystyle h ( x ) = \int _{0} ^{x} {g ( t ) dt - \int _{0} ^{x} {f ( t ) dt} - 3}이라 하자. h(x)=−2∫0xf(t)dt−3\displaystyle h ( x ) = - 2 \int _{0} ^{x} {f ( t ) dt} - 3은 연속함수이다. h(0)=−3<0h ( 0 ) = - 3 < 0 h(1)=−2∫01f(t)dt−3=12>0\displaystyle h ( 1 ) = - 2 \int _{0} ^{1} {f ( t ) dt} - 3 = \frac{1}{2} > 0 사이값 정리에 의하여 h(c)=0h ( c ) = 0인 실수 cc가 00과 11 사이에 적어도 하나 존재한다. (참) 따라서 <보기>에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

태그

#정적분#사잇값 정리#보기

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅰ 문제 모음미적분Ⅰ 부정적분과 정적분 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로