삼차함수 합성 나눗셈

[출제의도]합성함수의 미분법을 이용하여 미지수를 구할 수 있는가? ㄱ. $\alpha , \beta , \gamma$는 방정식 $f ( x ) = x$의 근이므로 $f ( \alpha ) = \alpha$, $f ( \beta ) = \beta$, $f ( \gamma ) = \gamma$ ∴ $f ( f ( \alpha ) ) = f ( \alpha ) = \alpha$ $f ( f ( \beta ) ) = f ( \beta ) = \beta$ $f ( f ( \gamma ) ) = f ( \gamma ) = \gamma$ 따라서, $\alpha , \beta , \gamma$는 방정식 $f ( f ( x ) ) = x$의 근이다. (참) ㄴ. $f ( x ) - x$가 삼차식이므로 $h ( x ) = px ^{2} + qx + r$로 놓을 수 있다. ∴ $f ( f ( x ) ) = \left\{ f ( x ) - x \right\} g ( x ) + h ( x )$ $= \left\{ f ( x ) - x \right\} g ( x ) + px ^{2} + qx + r$ $f ( f ( \alpha ) ) = p \alpha ^{2} + q \alpha + r = \alpha$ $\cdots \text{㉠}$ $f ( f ( \beta ) ) = p \beta ^{2} + q \beta + r = \beta$ $\cdots \text{㉡}$ $f ( f ( \gamma ) ) = p \gamma ^{2} + q \gamma + r = \gamma$ $\cdots \text{㉢}$ ㉠-㉡에서 $p ( \alpha ^{2} - \beta ^{2} ) + q ( \alpha - \beta ) = \alpha - \beta$ $\alpha \neq \beta$이므로 $p ( \alpha + \beta ) + q = 1$ $\cdots \text{㉣}$ ㉡-㉢에서 $p ( \beta ^{2} - \gamma ^{2} ) + q ( \beta - \gamma ) = \beta - \gamma$ $\beta \neq \gamma$이므로 $p ( \beta + \gamma ) + q = 1$ $\cdots \text{㉤}$ ㉣-㉤에서 $p ( \alpha - \gamma ) = 0$ $\alpha \neq \gamma$이므로 $p = 0$ ㉣에서 $q = 1$ ㉠에서 $\alpha + r = \alpha$이므로 $r = 0$ ∴ $h ( x ) = x$ (참) ㄷ. $f ( f ( x ) ) = \left\{ f ( x ) - x \right\} g ( x ) + x$ $\cdots ( * )$ 조건(나),(다)에서 $f ( 3 ) = 7$, $f ( f ( 3 ) ) = 5$이므로 $f ( f ( 3 ) ) = \left\{ f ( 3 ) - 3 \right\} g ( 3 ) + 3$에서 $5 = ( 7 - 3 ) g ( 3 ) + 3$ ∴ $\displaystyle g ( 3 ) = \frac{1}{2}$ $( * )$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f' ( f ( x ) ) f' ( x )$ $= \left\{ f' ( x ) - 1 \right\} g ( x ) + \left\{ f ( x ) - x \right\} g' ( x ) + 1$ $x = 3$을 대입하면 $f' ( f ( 3 ) ) f' ( 3 )$$= \left\{ f' ( 3 ) - 1 \right\} g ( 3 ) + \left\{ f ( 3 ) - 3 \right\} g' ( 3 ) + 1$ 조건(나)에서 $f' ( 3 ) = 0$이므로 $\displaystyle 0 = ( 0 - 1 ) \times \frac{1}{2} + ( 7 - 3 ) g' ( 3 ) + 1$ $\displaystyle 4 g' ( 3 ) = - \frac{1}{2}$ ∴ $\displaystyle g' ( 3 ) = - \frac{1}{8}$ (거짓) 따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.