미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼차함수 구간 최댓값

문제

닫힌구간 $\left[ 0 , 3 \right]$ 에서 함수 $f \left( x \right)$ $= x ^{3} - 6 x ^{2} + 9 x + a$ 의 최댓값이 $12$ 일 때, 상수 $a$ 의 값은? [4점] ① $2$ ② $4$ ③ $6$ ④ $8$ ⑤ $10$

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④

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해설

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기 $f ( x ) = x ^{3} - 6 x ^{2} + 9 x + a$ 에서 $f' ( x )$ $= 3 x ^{2} - 12 x + 9$ $= 3 ( x - 1 ) ( x - 3 )$ $f' ( x ) = 0$ 에서 $x = 1$ 또는 $x = 3$ 함수 $f ( x )$ 의 증가와 감소를 표로 나타내면

${x}$	$0$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$3$
${f' ( x )}$		$+$	$0$	$-$	$0$
${f ( x )}$	$a$	$\nearrow$	$a + 4$	$\searrow$	$a$

닫힌구간 $[ 0 , 3 ]$ 에서 함수 $f ( x )$ 의 최댓값은 $f ( 1 ) = a + 4$ 이므로 $a + 4 = 12$ 에서 $a = 8$

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