삼차함수 근 보기

[출제의도] 삼차함수 $f ( x )$와 이의 도함수 $f' ( x )$ 그래프 사이의 관계를 이해하여 방정식의 해와 관련된 명제의 참, 거짓을 판단할 수 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. (반례) $f ( x ) = x ^{3} + 1$이라 하자. $f' ( x ) = 3 x ^{2} = 0$이므로 서로 같은 실근 $0$을 가진다. 하지만, $f ( x ) = x ^{3} + 1 = 0 \leftrightarrow x = - 1$ 또는 $\displaystyle \frac{1 \pm \sqrt{3} i}{2}$가 되어 반드시 서로 같은 실근을 가진다고는 볼 수 없다. $\therefore$거짓 ㄴ. 이차방정식 $f' ( x ) = 0$이 허근을 가지면, $f ( x )$는 증가함수 또는 감소함수이므로 $f ( x ) = 0$은 단 하나의 실근과 서로 다른 두 허근을 가진다. $\therefore$참 ㄷ. (반례) $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{3} x ^{3} - \frac{3}{2} x ^{2} + 2 x$이라 하자. $f' ( x ) = x ^{2} - 3 x + 2 = 0 \leftrightarrow x = 1$ 또는 $x = 2$가 되어 서로 다른 실근을 갖는다. 하지만, $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{3} x ^{3} - \frac{3}{2} x ^{2} + 2 x = 0$ $\leftrightarrow$$2 x ^{3} - 9 x ^{2} + 12 x = 0$ $\leftrightarrow$$x ( 2 x ^{2} - 9 x + 12 ) = 0$ $\leftrightarrow$$x = 0$ 또는 $\displaystyle x = \frac{9 \pm \sqrt{15} i}{4}$ 가 되므로 $f ( x ) = 0$이 반드시 서로 다른 두 실근을 갖는다고 볼 수는 없다. $\therefore$거짓 따라서 옳은 것은 ㄴ뿐이다.