삼차함수 극값 g

[출제의도] 부정적분을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 $f ( x ) = x ( x - \alpha ) ^{2}$이고, $g' ( x ) = ( x f ( x ) )'$이므로 $g ( x ) = xf ( x ) + C$ $g ( x ) = x ^{2} ( x - \alpha ) ^{2} + C$ $\begin{aligned} g' ( x ) = 2 x ( x - \alpha ) ^{2} + 2 x ^{2} ( x - \alpha ) \\ = 2 x ( x - \alpha ) ( 2 x - \alpha ) \end{aligned}$ $y = g ( x )$는 $x = 0$, $x = \alpha$에서 극솟값, $\displaystyle x = \frac{\alpha}{2}$에서 극댓값을 갖는다. $\displaystyle g \left( \frac{\alpha}{2} \right) = 81$, $g ( 0 ) = g ( \alpha ) = 0$ 이를 이용하여 $\alpha$와 $g ( x )$를 구하면 $\alpha = 6$, $g ( x ) = x ^{2} ( x - 6 ) ^{2}$ $\displaystyle \therefore g \left( \frac{\alpha}{3} \right) = g ( 2 ) = 64$ (별해) 함수 $f ( x )$를 구하면 $f ( x ) = x ( x - \alpha ) ^{2}$이므로, $f' ( x ) = ( x - \alpha ) ^{2} + 2 x ( x - \alpha )$ $g' ( x ) = f ( x ) + xf' ( x )$이므로 $\begin{aligned} g' ( x ) = 4 x ^{3} - 6 \alpha x ^{2} + 2 \alpha ^{2} x \\ = 2 x ( x - \alpha ) ( 2 x - \alpha ) \end{aligned}$ $y = g ( x )$는 $x = 0$, $x = \alpha$에서 극솟값, $\displaystyle x = \frac{\alpha}{2}$에서 극댓값을 갖는다. $\displaystyle g \left( \frac{\alpha}{2} \right) = 81$, $g ( 0 ) = g ( \alpha ) = 0$ 이를 이용하여 $\alpha$와 $g ( x )$를 구하면 $\alpha = 6$, $g ( x ) = x ^{2} ( x - 6 ) ^{2}$ $\displaystyle \therefore g \left( \frac{\alpha}{3} \right) = g ( 2 ) = 64$