삼차함수 극값

출제의도 : 함수가 극값을 가질 조건을 이용하여 함숫값을 구할 수 있는가? $f ( x ) = x ^{3} + a x ^{2} + b$에서 $f' ( x ) = 3 x ^{2} + 2 a x$ 이때 함수 $f ( x )$는 $x = - 2$에서 극대이므로 $\begin{aligned} f' ( - 2 ) & = 3 \times ( - 2 ) ^{2} + 2 a \times ( - 2 ) \end{aligned}$$= 12 - 4 a = 0$ 즉 $a = 3$ 따라서 $f' ( x ) = 3 x ^{2} + 6 x = 3 x ( x + 2 )$ 이므로 함수 $f ( x )$는 $x = 0$에서 극소이다. 함수 $f ( x )$의 극솟값이 $5$이므로 $f ( 0 ) = b = 5$ 즉 $f ( x ) = x ^{3} + 3 x ^{2} + 5$이므로 $f ( 3 ) = 3 ^{3} + 3 \times 3 ^{2} + 5$ $= 27 + 27 + 5$ $= 59$