미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼차함수 극값

문제

상수 $k$ 에 대하여 함수 $f \left( x \right) = x ^{3} - 3 x ^{2} - 9 x + k$ 의 극솟값이 $\mathrm{-} 17$ 일 때, 함수 $f \left( x \right)$ 의 극댓값은? [3점] ① $\mathrm{11}$ ② $\mathrm{12}$ ③ $\mathrm{13}$ ④ $\mathrm{14}$ ⑤ $\mathrm{15}$

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⑤

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해설

$f' \left( x \right) = 3 x ^{2} - 6 x - 9 = 3 \left( x + 1 \right) \left( x - 3 \right)$ 이므로 $f' \left( x \right) = 0$ 에서 $x = - 1$ 또는 $x = 3$ 함수 $f \left( x \right)$ 의 증가와 감소를 표로 나타내면

$x$	$\cdots$	$\mathrm{-} 1$	$\cdots$	$\mathrm{3}$	$\cdots$
$f' \left( x \right)$	$+$	$\mathrm{0}$	$-$	$\mathrm{0}$	$+$
$f \left( x \right)$	$\nearrow$	극대	$\searrow$	극소	$\nearrow$

함수 $f \left( x \right)$ 의 극솟값은 $f \left( 3 \right) = k - 27 = - 17$ 이므로 $k = 10$ , $f \left( x \right) = x ^{3} - 3 x ^{2} - 9 x + 10$ 함수 $f \left( x \right)$ 의 극댓값은 $f \left( - 1 \right) = 15$

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