미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼차함수 극값

문제

함수 $f \left( x \right) = x ^{3} - 3 x + 2 a$ 의 극솟값이 $a + 3$ 일 때, 함수 $f \left( x \right)$ 의 극댓값은? (단, $a$ 는 상수이다.) [3점] ① $\mathrm{11}$ ② $\mathrm{12}$ ③ $\mathrm{13}$ ④ $\mathrm{14}$ ⑤ $\mathrm{15}$

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②

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해설

$f' \left( x \right) = 3 x ^{2} - 3 = 3 \left( x + 1 \right) \left( x - 1 \right)$ 함수 $f \left( x \right)$ 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$x$	$\cdots$	$\mathrm{-} 1$	$\cdots$	$\mathrm{1}$	$\cdots$
$f' \left( x \right)$	$+$	$\mathrm{0}$	$-$	$\mathrm{0}$	$+$
$f \left( x \right)$	$\nearrow$	극대	$\searrow$	극소	$\nearrow$

함수 $f \left( x \right)$ 는 $x = - 1$ 에서 극댓값을 갖고, $x = 1$ 에서 극솟값을 갖는다. $f \left( 1 \right) = 1 - 3 + 2 a = a + 3$ 이므로 $a = 5$ $f \left( x \right) = x ^{3} - 3 x + 10$ 따라서 $f \left( - 1 \right) = \left( - 1 \right) ^{3} - 3 \times \left( - 1 \right) + 10 = 12$

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