삼차함수 극댓값 수열

[출제의도] 함수의 극대와 극소를 이용하여 방정식에 대한 문제를 해결한다. $f' ( x )$$= 6 x ^{2} - 6 ( a + 1 ) x + 6 a$$= 6 ( x - 1 ) ( x - a )$ 이므로 $f' ( x ) = 0$에서 $x = 1$ 또는 $x = a$ $f ( 1 )$$= 2 - 3 ( a + 1 ) + 6 a$$= 3 a - 1$, $f ( a )$$= 2 a ^{3} - 3 a ^{2} ( a + 1 ) + 6 a ^{2}$$= \mathit{-} a ^{2} ( a - 3 )$ 이므로 삼차방정식 $f ( x ) = 0$이 서로 다른 세 실근을 갖기 위해서는 $f \left( 1 \right) f \left( a \right)$$= \mathit{-} a ^{2} ( 3 a - 1 ) ( a - 3 )$$< 0$ $a ^{2} > 0$이므로 $( 3 a - 1 ) ( a - 3 ) > 0$ 그런데 $a$는 자연수이므로 $a > 3$ 그러므로 $a _{1} = 4$, $a _{2} = 5$, $\cdots$, $a _{n} = n + 3$ $a = a _{n}$일 때, $f ( x ) = 2 x ^{3} - 3 \left( a _{n} + 1 \right) x ^{2} + 6 a _{n} x$이고 $f ( x )$는 $x = 1$에서 극댓값 $b _{n}$$= f ( 1 )$$= 3 a _{n} - 1$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( b _{n} - a _{n} \right)$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{10} {\left( 2 n + 5 \right)}$$= 160$