미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼차함수 극댓값

문제

함수 $f ( x ) = x ^{3} - x ^{2} - 5 x + k$ 의 극댓값이 $20$ 일 때, 상수 $k$ 의 값은? [3점] ① $13$ ② $14$ ③ $15$ ④ $16$ ⑤ $17$

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⑤

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해설

[출제의도] 함수의 극대와 극소를 이해하고 주어진 값을 구한다. $f' ( x ) = 3 x ^{2} - 2 x - 5$ $= ( x + 1 ) ( 3 x - 5 )$ $f' ( x ) = 0$ 에서 $x = - 1$ 또는 $\displaystyle x = \frac{5}{3}$ 함수 $f ( x )$ 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$x$	$\cdots$	$- 1$	$\cdots$	$\displaystyle \frac{5}{3}$	$\cdots$
$f' ( x )$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f ( x )$	↗	$f ( - 1 )$	↘	$\displaystyle f \left( \frac{5}{3} \right)$	↗

함수 $f ( x )$ 는 $x = - 1$ 에서 극댓값을 가지므로 $f ( - 1 ) = - 1 - 1 + 5 + k = 20$ ∴ $k = 17$

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