미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼차함수 극댓값

문제

최고차항의 계수가 11인 삼차함수 f(x)f ( x )가 다음 조건을 만족시킬 때, f(x)f ( x )의 극댓값을 구하시오. [4점]

(가) 모든 실수 xx에 대하여 f′(x)=f′(−x)f' ( x ) = f' ( - x )이다. (나) 함수 f(x)f ( x )는 x=1x = 1에서 극솟값 00을 갖는다.

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4

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해설

[출제의도] 도함수의 성질을 이용하여 극값을 구하는 문제를 해결한다. f(x)=x3+ax2+bx+cf ( x ) = x ^{3} + ax ^{2} + bx + c라 하면 f′(x)=3x2+2ax+bf' ( x ) = 3 x ^{2} + 2 ax + b 조건 (가)에 의하여 y=f′(x)y = f' ( x )의 그래프는 yy축에 대칭이므로 a=0a = 0 따라서 f′(x)=3x2+bf' ( x ) = 3 x ^{2} + b이고, 조건 (나)에서 f′(1)=0f' ( 1 ) = 0이고 f(1)=0f ( 1 ) = 0이므로 b=−3b = - 3, c=2c = 2 따라서 f(x)f ( x )의 극댓값 f(−1)=4f ( - 1 ) = 4

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#극대극소#삼차함수

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