미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼차함수 극댓값

문제

함수 $f \left( x \right) = x ^{3} - 6 x ^{2} + 9 x + 1$ 이 $x = \alpha$ 에서 극댓값 $M$ 을 가질 때, $\alpha + M$ 의 값은? [3점] ① $4$ ② $6$ ③ $8$ ④ $10$ ⑤ $12$

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②

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[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기 함수 $f \left( x \right) = x ^{3} - 6 x ^{2} + 9 x + 1$ 에서 $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} - 12 x + 9 = 3 \left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right)$ $f' \left( x \right) = 0$ 에서 $x = 1$ 또는 $x = 3$ 함수 $f \left( x \right)$ 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$x$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$3$	$\cdots$
$f' \left( x \right)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f \left( x \right)$	$\nearrow$	$5$	$\searrow$	$1$	$\nearrow$

$\therefore$ $\alpha = 1$ , $M = f \left( 1 \right) = 5$ 따라서 $\alpha + M = 6$

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