삼차함수 도함수의 절댓값 제한과 최고차항 계수의 최댓값

$P ( x ) = ax ^{3} + bx ^{2} + cx + d$, $P' ( x ) = 3 ax ^{2} + 2 bx + c$, $P' ( 0 ) = c$ $P' ( 1 ) = 3 a + 2 b + c$, $\displaystyle P' \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{3}{4} a + b + c$

$\displaystyle a = \frac{2}{3} P' ( 1 ) + \frac{2}{3} P' ( 0 ) - \frac{4}{3} P' \left( \frac{1}{2} \right)$ $P' ( 0 ) = P' ( 1 ) = 1$, $\displaystyle P' \left( \frac{1}{2} \right) = - 1$일 때 $a$는 최댓값$\displaystyle \frac{2}{3} + \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$이다.