삼차다항식 나머지

[출제의도] 인수정리를 이용하여 다항식의 나눗셈 문제 해결하기 최고차항의 계수가 $1$이고 조건 (나)에 의하여 $f \left( x \right) = \left( x - 2 \right) ^{2} \left( x + a \right) + 2 \left( x - 2 \right)$($a$는 상수)이다. 조건 (가)에 의하여 $f \left( 0 \right) = 4 a - 4 = 0$이므로 $a = 1$이다. $f \left( x \right) = \left( x - 2 \right) ^{2} \left( x + 1 \right) + 2 \left( x - 2 \right)$ $= \left( x - 2 \right) \left\{ \left( x - 2 \right) \left( x + 1 \right) + 2 \right\}$ $= \left( x - 2 \right) \left( x ^{2} - x \right)$ $= \left( x - 1 \right) \left\{ x \left( x - 2 \right) \right\}$이므로 $f \left( x \right)$를 $x - 1$로 나눈 몫은 $Q \left( x \right) = x \left( x - 2 \right)$이다. 따라서 $Q \left( 5 \right) = 15$이다. [다른 풀이] $f \left( x \right)$의 최고차항의 계수가 $1$이고 조건 (가)에 의하여 $f \left( x \right) = x ^{3} + ax ^{2} + bx$로 놓을 수 있다. ($a$, $b$는 상수) $f \left( x \right)$를 $\left( x - 2 \right) ^{2}$으로 나눈 몫을 $P \left( x \right)$라 하면 조건 (나)에서 나머지가 $2 \left( x - 2 \right)$이므로 $f \left( x \right) = \left( x - 2 \right) ^{2} P \left( x \right) + 2 \left( x - 2 \right)$이다. $f \left( x \right) = x ^{3} + ax ^{2} + bx$이므로 $x \left( x ^{2} + ax + b \right) = \left( x - 2 \right) ^{2} P \left( x \right) + 2 \left( x - 2 \right)$$\cdots \text{㉠}$ $x = 2$를 $\text{㉠}$에 대입하면 $2 \left( 4 + 2 a + b \right) = 0$에서 $b = \mathit{-} 2 a - 4$$\cdots \text{㉡}$ $\text{㉡}$을 $\text{㉠}$에 대입하면 $x \left( x ^{2} + ax - 2 a - 4 \right) = \left( x - 2 \right) ^{2} P \left( x \right) + 2 \left( x - 2 \right)$ $x \left( x - 2 \right) \left( x + a + 2 \right) = \left( x - 2 \right) \left\{ \left( x - 2 \right) P \left( x \right) + 2 \right\}$ $x \left( x + a + 2 \right) = \left( x - 2 \right) P \left( x \right) + 2$$\cdots \text{㉢}$ $x = 2$를 $\text{㉢}$에 대입하면 $2 \left( 2 + a + 2 \right) = 2$에서 $a = \mathit{-} 3$이다. $a = \mathit{-} 3$을 $\text{㉡}$에 대입하면 $b = 2$이다. $f \left( x \right) = x ^{3} - 3 x ^{2} + 2 x = x \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right)$이므로 $f \left( x \right)$를 $x - 1$로 나눈 몫을 $Q \left( x \right)$라 할 때, $Q \left( x \right) = x \left( x - 2 \right)$이다. 따라서 $Q \left( 5 \right) = 15$이다.