공통수학1여러 가지 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼차다항식 근의 제곱합

문제

삼차다항식 f(x)=x3−6x2+3x+7f ( x ) = x ^{3} - 6 x ^{2} + 3 x + 7에 대하여 서로 다른 세 실수 α,β,γ\alpha , \beta , \gamma가 f(α)=f(β)=f(γ)=−3f ( \alpha ) = f ( \beta ) = f ( \gamma ) = - 3을 만족시킬 때, α2+β2+γ2\alpha ^{2} + \beta ^{2} + \gamma ^{2}의 값은? ①1414②2121③2626④3030⑤3535

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④

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해설

f(α)=f(β)=f(γ)=−3f ( \alpha ) = f ( \beta ) = f ( \gamma ) = - 3에서 f(α)+3=f(β)+3=f(γ)+3=0f ( \alpha ) + 3 = f ( \beta ) + 3 = f ( \gamma ) + 3 = 0 이므로 α,β,γ\alpha , \beta , \gamma는 방정식 f(x)+3=0f ( x ) + 3 = 0의 근이다. 이때, f(x)+3=0f ( x ) + 3 = 0 ⇔ x3−6x2+3x+10=0x ^{3} - 6 x ^{2} + 3 x + 10 = 0이므로 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 α+β+γ=6\alpha + \beta + \gamma = 6, αβ+βγ+γα=3\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = 3 ∴α2+β2+γ2\therefore \alpha ^{2} + \beta ^{2} + \gamma ^{2}=(α+β+γ)2−2(αβ+βγ+γα)=62−2×3=36−6=30\begin{aligned} = ( \alpha + \beta + \gamma ) ^{2} - 2 ( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha ) \\ \\ = 6 ^{2} - 2 \times 3 = 36 - 6 = 30 \end{aligned}

태그

#삼차방정식#근과 계수의 관계

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