삼차방정식의 실근 개수

[출제의도] 미분을 활용하여 방정식의 실근의 개수를 구할 수 있는가? 방정식 $2 x ^{3} - 3 x ^{2} - 12 x + k = 0$, 즉 $2 x ^{3} - 3 x ^{2} - 12 x = \mathit{-} k$ $\cdots \cdots$ ㉠ 에서 $f ( x ) = 2 x ^{3} - 3 x ^{2} - 12 x$라 하자. $f' ( x )$$= 6 x ^{2} - 6 x - 12$ $= 6 ( x + 1 ) ( x - 2 )$ $f' \left( x \right) = 0$에서 $x = \mathit{-} 1$ 또는 $x = 2$ 함수 $f ( x )$의 증가와 감소를 표로 나타내면 아래와 같다.

함수 $f \left( x \right)$는 $x = \mathit{-} 1$에서 극댓값 $7$을 갖고, $x = 2$에서 극솟값 $- 20$을 갖는다.

방정식 ㉠이 서로 다른 세 실근을 가지려면 함수 $y$$= f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = \mathit{-} k$가 서로 다른 세 점에서 만나야 하므로 $- 20 < - k < 7$ 즉, $- 7 < k < 20$이다. 따라서 정수 $k$의 값은 $- 6$, $- 5$, $- 4$, $\cdots$, $19$ 이고, 그 개수는 $26$이다.