삼차방정식의 정수근 구하기

삼차방정식 $f ( x ) = 0$의 정수근을 $x = n$이라 할 때, 주어진 조건에 의해서 $f ( x ) = ( x - n ) ( x ^{2} + ax + b )$ ($a$, $b$는 정수) 로 놓을 수 있다. $f ( 7 ) = ( 7 - n ) ( 49 + 7 a + b ) = - 3$ …… ㉠ $f ( 11 ) = ( 11 - n ) ( 121 + 11 a + b ) = 73$ …… ㉡ $49 + 7 a + b$, $121 + 11 a + b$모두 정수이므로 $7 - n$, $11 - n$은 정수범위에서 각각 $3$, $73$의 약수이어야 한다. $7 - n$$= \pm 1$, $\pm 3$이어야 하므로 $n = 4 , 6 , 8 , 10$ 이때, $11 - n = 1 , 3 , 5 , 7$ 그런데 $11 - n$은 $73$의 약수이어야 하므로 $11 - n = 1$이어야 한다. $\therefore n = 10$