삼차방정식의 허근

[출제의도] 근과 계수의 관계를 이해하여 식의 값을 구한다. 방정식 $x ^{3} + x - 2 = 0$에 $x = 1$을 대입하면 등식이 성립하므로 조립제법을 이용하여 인수분해하면

$\left( x - 1 \right) \left( x ^{2} + x + 2 \right) = 0$ 이차방정식 $x ^{2} + x + 2 = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D$$= 1 ^{2} - 4 \times 1 \times 2$$= \mathit{-} 7 < 0$ 즉, 이차방정식 $x ^{2} + x + 2 = 0$이 허근을 가지므로 $\alpha$, $\beta$는 이차방정식 $x ^{2} + x + 2 = 0$의 두 허근이다. 근과 계수의 관계에서 $\alpha + \beta = \mathit{-} 1$, $\alpha \beta = 2$ $\alpha ^{3} + \beta ^{3}$$= \left( \alpha + \beta \right) ^{3} - 3 \alpha \beta \left( \alpha + \beta \right)$$= \left( - 1 \right) ^{3} - 3 \times 2 \times \left( - 1 \right)$$= \left( - 1 \right) + 6$$= 5$ [다른 풀이] 방정식 $x ^{3} + x - 2 = 0$에 $x = 1$을 대입하면 등식이 성립하므로 조립제법을 이용하여 인수분해하면

$\left( x - 1 \right) \left( x ^{2} + x + 2 \right) = 0$ 이차방정식 $x ^{2} + x + 2 = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D$$= 1 ^{2} - 4 \times 1 \times 2$$= \mathit{-} 7 < 0$ 즉, 이차방정식 $x ^{2} + x + 2 = 0$이 허근을 가지므로 $\alpha$, $\beta$는 이차방정식 $x ^{2} + x + 2 = 0$의 두 허근이다. 근과 계수의 관계에서 $\alpha + \beta = \mathit{-} 1$ 또한 $\alpha$, $\beta$는 $x ^{3} + x - 2 = 0$의 근이므로 $\alpha ^{3} + \alpha - 2 = 0$에서 $\alpha ^{3} = \mathit{-} \alpha + 2$ $\beta ^{3} + \beta - 2 = 0$에서 $\beta ^{3} = \mathit{-} \beta + 2$ $\alpha ^{3} + \beta ^{3}$$= \left( - \alpha + 2 \right) + \left( - \beta + 2 \right)$ $= \mathit{-} \left( \alpha + \beta \right) + 4$ $= \mathit{-} \left( - 1 \right) + 4$$= 5$