삼차방정식의 허근

[출제의도] 삼차방정식을 이용하여 추론하기 삼차방정식 $x ^{3} - 3 x ^{2} + 4 x - 2 = 0$에서 $( x - 1 ) \left( x ^{2} - 2 x + 2 \right) = 0$ $\omega \neq 1$이므로 이차방정식 $x ^{2} - 2 x + 2 = 0$의 두 허근이 $\omega$, $\displaystyle \overline{\omega}$이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $\displaystyle \omega + \overline{\omega} = 2$, $\displaystyle \omega \overline{\omega} = 2$에서 $\displaystyle \omega \overline{\omega} - \omega = \overline{\omega}$ 그러므로 $\displaystyle \left\{ \omega \left( {\overline{\omega}} - 1 \right) \right\} ^{n} = \left( \omega {\overline{\omega}} - \omega \right) ^{n} = {\overline{\omega}} ^{n}$ 이차방정식 $x ^{2} - 2 x + 2 = 0$의 두 근은 $1 + i$, $1 - i$ $\omega = 1 + i$, $\displaystyle \overline{\omega} = 1 - i$일 때 $\displaystyle {\overline{\omega}} ^{2} = - 2 i$, $\displaystyle {\overline{\omega}} ^{4} = - 4$에서 $\displaystyle {\overline{\omega}} ^{16} = 256$ 마찬가지로 $\omega = 1 - i$, $\displaystyle {\overline{\omega}} = 1 + i$일 때도 $\displaystyle {\overline{\omega}} ^{16} = 256$ 따라서 $n = 16$