공통수학1여러 가지 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼차방정식의 두 허근

문제

삼차방정식 $x ^{3} - 2 x ^{2} + 3 x - 2 = 0$ 의 두 허근을 $\alpha$ , $\beta$ 라 할 때, $\displaystyle \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ 의 값은? [3점] ① $\displaystyle \frac{1}{6}$ ② $\displaystyle \frac{1}{3}$ ③ $\displaystyle \frac{1}{2}$ ④ $\displaystyle \frac{2}{3}$ ⑤ $\displaystyle \frac{5}{6}$

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③

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해설

[출제의도] 삼차방정식을 이용하여 근과 계수과의 관계 문제 해결하기

$1$	$1$	$- 2$	$3$	$- 2$
		$1$	$- 1$	$2$
	$1$	$- 1$	$2$	$0$

조립제법에 의해 $x ^{3} - 2 x ^{2} + 3 x - 2 = ( x - 1 ) ( x ^{2} - x + 2 )$ 이다. 따라서 삼차방정식 $x ^{3} - 2 x ^{2} + 3 x - 2 = 0$ 의 두 허근은 이차방정식 $x ^{2} - x + 2 = 0$ 의 두 허근과 같다. 두 허근을 $\alpha$ , $\beta$ 라 하면 $\alpha + \beta = 1$ , $\alpha \beta = 2$ 이다. 따라서 $\displaystyle \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = \frac{1}{2}$ 이다.

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