공통수학1여러 가지 방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼차방정식의 두 허근

문제

$x$ 에 대한 삼차방정식 $x ^{3} - \left( 2 a + 1 \right) x ^{2} + \left( a + 1 \right) ^{2} x - \left( a ^{2} + 1 \right) = 0$ 의 서로 다른 두 허근을 $\alpha$ , $\beta$ 라 하자. $\alpha + \beta = 8$ 일 때, $\alpha \beta$ 의 값은? (단, $a$ 는 실수이다.) [3점] ① $16$ ② $17$ ③ $18$ ④ $19$ ⑤ $20$

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②

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해설

[출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계 이해하기 조립제법을 이용하면

$1$	$1$	$- ( 2 a + 1 )$	$\left( a + 1 \right) ^{2}$	$- \left( a ^{2} + 1 \right)$
		$1$	$- 2 a$	$a ^{2} + 1$
	$1$	$- 2 a$	$a ^{2} + 1$	$0$

에서 $x ^{3} - \left( 2 a + 1 \right) x ^{2} + \left( a + 1 \right) ^{2} x - \left( a ^{2} + 1 \right)$ $= \left( x - 1 \right) \left( x ^{2} - 2 ax + a ^{2} + 1 \right)$ 이고 이차방정식 $x ^{2} - 2 ax + a ^{2} + 1 = 0$ 의 판별식 $D = 4 a ^{2} - 4 \left( a ^{2} + 1 \right) = \mathit{-} 4 < 0$ 이므로 삼차방정식 $x ^{3} - \left( 2 a + 1 \right) x ^{2} + \left( a + 1 \right) ^{2} x - \left( a ^{2} + 1 \right) = 0$ 의 서로 다른 두 허근 $\alpha$ , $\beta$ 는 이차방정식 $x ^{2} - 2 ax + a ^{2} + 1 = 0$ 의 서로 다른 두 허근과 같다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 $\alpha + \beta = 2 a = 8$ 이므로 $a = 4$ 따라서 $\alpha \beta = a ^{2} + 1 = 17$ 이다.

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