삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 갖는 자연수 a의 개수

$x ^{3} - x ^{2} - ax - 3 = 0$에서 $x ^{3} - x ^{2} - 3 = ax$이므로 방정식 $x ^{3} - x ^{2} - ax - 3 = 0$의 실근은 곡선 $y = x ^{3} - x ^{2} - 3$과 직선 $y = ax$의 교점의 $x$좌표이다. $f ( x ) = x ^{3} - x ^{2} - 3$이라 하면 $f' ( x ) = 3 x ^{2} - 2 x = x ( 3 x - 2 )$ 따라서 함수 $y = f ( x )$의 그래프의 개형은 다음 그림과 같고 $y = ax$의 그래프가 그림과 같이 $y$축과 원점을 지나며 함수 $y = f ( x )$에 접하는 접선 사이에 있을 때, 곡선 $y = f ( x )$와 직선 $y = ax$가 서로 다른 세 교점을 갖는다.

원점에서 함수 $y = f ( x )$에 그은 접선의 방정식을 구하자. 접점을 $( t , f ( t ) )$라 할 때, 접선의 방정식은 $y$$= f' ( t ) ( x - t ) + f ( t )$ $= ( 3 t ^{2} - 2 t ) ( x - t ) + t ^{3} - t ^{2} - 3$ 접선이 원점을 지나므로 $0 = ( 3 t ^{2} - 2 t ) ( 0 - t ) + t ^{3} - t ^{2} - 3$ $2 t ^{3} - t ^{2} + 3 = 0$ $( t + 1 ) ( 2 t ^{2} - 3 t + 3 )$$= 0$ ∴ $t = - 1$ (∵ $2 t ^{2} - 3 t + 3 > 0$) 따라서 원점에서 함수 $y = f ( x )$에 그은 접선의 방정식은 $y = 5 x$이다. 따라서 곡선 $y = f ( x )$와 직선 $y = ax$가 서로 다른 세 교점을 갖도록 하는 $a$의 범위는 $a > 5$이다. 따라서 구하는 한 자리 자연수 $a$의 개수는 $6$, $7$, $8$, $9$로 총 $4$개다.