삼차방정식과 직각삼각형

[출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계와 직각삼각형의 성질을 이용할 수 있는가를 묻는 문제이다. 삼차방정식 $x ^{3} - 4 x ^{2} + \left( k + 3 \right) x - k = 0$이 한 실근이 $1$이므로 $\left( x - 1 \right) \left( x ^{2} - 3 k + k \right) = 0$이다. 따라서 $\alpha$, $\beta$는 이차방정식 $x ^{2} - 3 x + k = 0$의 서로 다른 두 실근이므로 $\alpha + \beta = 3$, $\alpha \beta = k$이다. ⅰ) $1$이 직각삼각형의 빗변의 길이인 경우 $\alpha ^{2} + \beta ^{2} = 9 - 2 k = 1$에서 $k = 4$이므로 이차방정식 $x ^{2} - 3 x + 4 = 0$은 실근을 갖지 않는다. ⅱ) $\alpha$가 직각삼각형의 빗변의 길이인 경우 $1 + \beta ^{2} = \alpha ^{2}$, $\alpha ^{2} - \beta ^{2} = \left( \alpha - \beta \right) \left( \alpha + \beta \right) = 1$에서 $\displaystyle \alpha - \beta = \frac{1}{3}$이므로 $\displaystyle \alpha = \frac{5}{3}$, $\displaystyle \beta = \frac{4}{3}$ 따라서 $\displaystyle k = \frac{5}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{20}{9}$이다. ⅲ) $\beta$가 직각삼각형의 빗변의 길이인 경우 ⅱ)와 같은 방법으로 $\displaystyle k = \frac{20}{9}$이다. $\therefore$$m + n = 9 + 20 = 29$