삼차방정식과 공통근

[출제의도] 방정식의 근을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 방정식 $x ^{3} + ax ^{2} + bx + c = 0$의 계수가 모두 실수이므로 $\displaystyle 1 + \sqrt{3} i$가 근이면 $\displaystyle 1 - \sqrt{3} i$도 근이다. $\displaystyle 1 + \sqrt{3} i$ 또는 $\displaystyle 1 - \sqrt{3} i$가 이차방정식 $x ^{2} + ax + 2 = 0$의 근이면 $a$가 실수인 이차방정식은 존재하지 않는다. $\displaystyle 1 + \sqrt{3} i$, $\displaystyle 1 - \sqrt{3} i$를 두 근으로 하는 이차방정식은 $x ^{2} - 2 x + 4 = 0$이고 방정식 $x ^{3} + ax ^{2} + bx + c = 0$은 공통인 근 $m$을 가지므로 $x ^{3} + ax ^{2} + bx + c = ( x ^{2} - 2 x + 4 ) ( x - m ) = 0$ $a = - m - 2$ …… ㉠ 공통인 근이 $m$이므로 $m ^{2} + am + 2 = 0$이고 이 식에 ㉠을 대입하면 $m ^{2} + ( - m - 2 ) m + 2 = 0$에서 $- 2 m + 2 = 0$ 따라서 $m = 1$