삼차방정식 양의 실근

$f \left( x \right) = x ^{3} - 3 ax ^{2} + 40 a ^{2}$이라 하자. $x$에 대한 방정식 $f \left( x \right) = 0$의 서로 다른 양의 실근의 개수가 $1$이려면 $x > 0$에서 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 $x$축의 교점의 개수가 $1$이어야 한다. $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} - 6 ax = 3 x \left( x - 2 a \right) = 0$에서 $x = 0$ 또는 $x = 2 a \left( a > 0 \right)$ 함수 $f \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면

$f \left( 0 \right) = 40 a ^{2} > 0$이므로 $f \left( 2 a \right) = 0$이어야 한다. $f \left( 2 a \right) = 8 a ^{3} - 12 a ^{3} + 40 a ^{2} = - 4 a ^{2} \left( a - 10 \right) = 0$ 따라서 $a = 10$