삼차방정식 실근 조건

$\begin{aligned} f ( x ) = g ( x ) \leftrightarrow 3 x ^{3} - x ^{2} - 3 x = x ^{3} - 4 x ^{2} + 9 x + a \\ \leftrightarrow 2 x ^{3} + 3 x ^{2} - 12 x = a \end{aligned}$ $h ( x ) = 2 x ^{3} + 3 x ^{2} - 12 x$라 놓으면 $h' ( x ) = 6 x ^{2} + 6 x - 12 = 0$ 이므로 $x = - 2$ 일 때 극댓값 $20$을 갖고, $x = 1$ 일 때 극솟값 $- 7$을 가짐을 알 수 있다. $y = h ( x )$ 와 $y = a$가 서로 다른 두 개의 양의 실근과 한 개의 음의 실근을 갖기 위해서는 $- 7 < a < 0$을 만족해야 한다.