삼차방정식 실근 조건

[출제의도] 미분을 이용하여 주어진 방정식이 실근을 가질 조건을 구할 수 있는가? $f ( x ) = 2 x ^{3} + 6 x ^{2} + a$라 하면 $f' ( x ) = 6 x ^{2} + 12 x$$= 6 x ( x + 2 )$ 이때 $f' ( x ) = 0$에서 $x = - 2$ 또는 $x = 0$ 이고, 함수 $f ( x )$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. $x$ $\cdots$ $- 2$ $\cdots$ $0$ $\cdots$ $f' ( x )$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$ $f ( x )$ ↗ $8 + a$ ↘ $a$ ↗ 그러므로 방정식 $f ( x ) = 0$이 $- 2 \leq x \leq 2$에서 서로 다른 두 실근을 갖기 위해서는 함수 $y = f ( x )$의 그래프가 다음 그림과 같아야 한다.

이때 $f ( 2 ) = 40 + a$이므로 $f ( 2 ) > f ( - 2 )$이다. 그러므로 조건을 만족시키기 위해서는 $f ( - 2 ) \geq 0$이고 $f ( 0 ) < 0$이어야 한다. $f ( - 2 ) \geq 0$에서 $8 + a \geq 0$, $a \geq - 8$ $\cdots \cdots$㉠ 또, $f ( 0 ) < 0$에서 $a < 0$ 　$\cdots \cdots$㉡ 따라서 ㉠, ㉡에서 $- 8 \leq a < 0$ 이므로 구하는 정수 $a$의 개수는 $8$이다.