삼차방정식 실근 개수

[출제의도] 인수분해를 이해하여 조건을 만족시키는 삼차방정식을 구한다. 방정식 $x ^{3} - 5 x ^{2} + ( a + 4 ) x - a = 0$에 $x = 1$을 대입하면 등식이 성립하므로 조립제법을 이용하여 인수분해하면

$x ^{3} - 5 x ^{2} + ( a + 4 ) x - a$$= 0$ $( x - 1 ) \left( x ^{2} - 4 x + a \right)$$= 0$에서 $x = 1$ 또는 $x ^{2} - 4 x + a = 0$ 이때 주어진 삼차방정식의 서로 다른 실근의 개수가 $2$인 경우는 다음과 같다. (ⅰ) $x ^{2} - 4 x + a = 0$이 $1$과 $1$이 아닌 실근을 갖는 경우 $x ^{2} - 4 x + a = 0$이 $1$을 근으로 가지므로 $1 - 4 + a = 0$ $a = 3$ 이때 $x ^{2} - 4 x + 3$$= ( x - 1 ) ( x - 3 )$$= 0$에서 $x = 1$ 또는 $x = 3$ 즉, $x ^{3} - 5 x ^{2} + ( a + 4 ) x - a = 0$의 실근은 $x = 1$(중근) 또는 $x = 3$ 이므로 $a = 3$은 주어진 조건을 만족시킨다. (ⅱ) $x ^{2} - 4 x + a = 0$이 $1$이 아닌 중근을 갖는 경우 이차방정식 $x ^{2} - 4 x + a = 0$의 판별식을 $D$라 할 때, $D = 0$이어야 하므로 $\displaystyle \frac{D}{4}$$= ( - 2 ) ^{2} - 1 \times a$$= 0$ $a = 4$ 이때 $x ^{2} - 4 x + 4$$= ( x - 2 ) ^{2}$$= 0$에서 $x = 2$ 즉, $x ^{3} - 5 x ^{2} + ( a + 4 ) x - a = 0$의 실근은 $x = 1$ 또는 $x = 2$(중근) 이므로 $a = 4$는 주어진 조건을 만족시킨다. (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 모든 실수 $a$의 값의 합은 $3 + 4$$= 7$