삼차방정식 실근 개수

$x$에 대한 방정식 $\displaystyle x ^{3} - \frac{3 n}{2} x ^{2} + 7 = 0$에서 $\displaystyle x ^{2} \left( x - \frac{3 n}{2} \right) = \mathit{-} 7$ ($n$은 자연수) $\cdots$$\cdots$ ㉠ 이때 $\displaystyle f ( x ) = x ^{3} - \frac{3 n}{2} x ^{2}$라 하면 $f' ( x ) = 3 x ^{2} - 3 nx = 3 x ( x - n )$ $f' ( x ) = 0$에서 $x = 0$ 또는 $x = n$ 함수 $f ( x )$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 $f ( x )$는 $x = n$일 때 극솟값 $\displaystyle - \frac{1}{2} n ^{3}$을 갖는다.

방정식 ㉠의 $1$보다 큰 서로 다른 실근의 개수가 $2$가 되어야 하므로 위 그림에서와 같이 $x > 1$에서 함수 $f ( x )$의 그래프와 직선 $y = \mathit{-} 7$의 교점의 개수가 $2$이어야 한다. $\displaystyle f ( 1 ) = 1 - \frac{3 n}{2}$, $\displaystyle f ( n ) = \mathit{-} \frac{1}{2} n ^{3}$ 이므로 $\displaystyle - \frac{1}{2} n ^{3} < - 7$에서 $n ^{3} > 14$ $\displaystyle - 7 < 1 - \frac{3}{2} n$에서 $\displaystyle n < \frac{16}{3}$ 위 두 부등식을 모두 만족하는 자연수 $n$의 값은 $3$, $4$, $5$이므로 $3 + 4 + 5 = 12$