삼차방정식 실근 개수

방정식 $x ^{3} - x ^{2} - 8 x + k = 0$에서 $x ^{3} - x ^{2} - 8 x = - k$ $f ( x ) = x ^{3} - x ^{2} - 8 x$라 하면 $f' ( x ) = 3 x ^{2} - 2 x - 8$$= ( 3 x + 4 ) ( x - 2 )$ $f' ( x ) = 0$에서 $\displaystyle x = - \frac{4}{3}$ 또는 $x = 2$ 함수 $f ( x )$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle f \left( - \frac{4}{3} \right) = \frac{176}{27}$, $f ( 2 ) = - 12$ 이므로 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 다음 그림과 같다.

방정식 $f ( x ) = - k$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$이려면 함수 $y = f ( x )$의 그래프와 직선 $y = - k$가 서로 다른 두 점에서 만나야 하므로 $\displaystyle - k = \frac{176}{27}$ 또는 $- k = - 12$ 즉, $\displaystyle k = - \frac{176}{27}$ 또는 $k = 12$ 이다. 이때 $k$는 양수이므로 $k = 12$