삼차방정식 실근 개수

$f \left( x \right) = x ^{3} + 3 x ^{2} - k$라 하면 $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} + 6 x = 3 x \left( x + 2 \right)$ $f' \left( x \right) = 0$에서 $x = - 2$ 또는 $x = 0$ 함수 $f \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면

함수 $f \left( x \right)$의 극댓값은 $f \left( - 2 \right) = - 8 + 12 - k = 4 - k$이고 극솟값은 $f \left( 0 \right) = - k$이다. 방정식 $f \left( x \right) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $3$이므로 함수 $f \left( x \right)$의 극댓값은 양수이고 극솟값은 음수이다. $f \left( - 2 \right) = 4 - k > 0$에서 $k < 4$ $f \left( 0 \right) = - k < 0$에서 $k > 0$ $0 < k < 4$이므로 $k = 1$ 또는 $k = 2$ 또는 $k = 3$ 따라서 구하는 자연수 $k$의 개수는 $3$