미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼차방정식 실근

문제

삼차방정식 $x ^{3} + 3 x ^{2} - 9 x + 4 - k = 0$ 이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 모든 정수 $k$ 의 개수는? [3점] ① $28$ ② $31$ ③ $34$ ④ $37$ ⑤ $40$

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②

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[출제의도] 미분을 활용하여 추론하기 $f ( x ) = x ^{3} + 3 x ^{2} - 9 x + 4 - k$ 라 하면 $f' ( x ) = 3 ( x + 3 ) ( x - 1 )$

삼차방정식 $f ( x ) = 0$ 이 서로 다른 세 실근을 가지려면 $f ( - 3 ) f ( 1 ) < 0$ 이어야 하므로 $( 31 - k ) ( - 1 - k ) < 0$ $- 1 < k < 31$ 따라서 모든 정수 $k$ 의 개수는 $31$