삼차방정식 세 실근 조건

[출제의도] 여러 가지 방정식의 실근을 가질 조건을 이용하여 추론하기 $x ^{3} + ( 8 - a ) x ^{2} + ( a ^{2} - 8 a ) x - a ^{3} = 0$ $\left( x - a \right) \left( x ^{2} + 8 x + a ^{2} \right) = 0$ 서로 다른 세 실근을 갖기 위해서는 방정식 $x ^{2} + 8 x + a ^{2} = 0$은 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 판별식을 $D$라 할 때 $\displaystyle \frac{D}{4} = 16 - a ^{2} > 0$ 따라서 $- 4 < a < 4$ $\cdots \cdots$㉠ 또한 $x = a$는 $x ^{2} + 8 x + a ^{2} = 0$의 근이 아니어야 하므로 $2 a ^{2} + 8 a \ne 0$ 따라서 $a \ne 0$이고 $a \ne - 4$ $\cdots \cdots$㉡ ㉠, ㉡에 의해 정수 $a$의 개수는 $6$