삼차방정식 세 실근

[출제의도] 삼차방정식 이해하기 (ⅰ) $1$이 $x$에 대한 방정식 $x - a = 0$의 근일 경우 $a = 1$이므로 주어진 방정식은 $\left( x - 1 \right) \left( x ^{2} - 2 x + 4 \right) = 0$이고 방정식 $x ^{2} - 2 x + 4 = 0$의 판별식 $D = 4 - 16 = \mathit{-} 12 < 0$ 그러므로 방정식 $\left( x - 1 \right) \left( x ^{2} - 2 x + 4 \right) = 0$은 서로 다른 세 실근을 갖지 않는다. (ⅱ) $1$이 $x$에 대한 방정식 $x ^{2} + \left( 1 - 3 a \right) x + 4 = 0$의 근일 경우 $1 + \left( 1 - 3 a \right) + 4 = 0$에서 $a = 2$이므로 주어진 방정식은 $\left( x - 2 \right) \left( x ^{2} - 5 x + 4 \right) = 0$ 방정식 $x ^{2} - 5 x + 4 = 0$이 두 실근 $1$, $4$를 가지므로 방정식 $\left( x - 2 \right) \left( x ^{2} - 5 x + 4 \right) = 0$은 서로 다른 세 실근 $1$, $2$, $4$를 갖는다. 따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의해 $\alpha = 2$, $\beta = 4$ (또는 $\alpha = 4$, $\beta = 2$)이므로 $\alpha \beta = 8$이다.