삼차방정식 정수근 순서쌍

[출제의도] 삼차방정식의 근을 이용하여 순서쌍의 개수를 구한다. $ax ^{3} + 2 bx ^{2} + 4 bx + 8 a$$= a ( x ^{3} + 8 ) + 2 bx ( x + 2 )$ $= a ( x + 2 ) \left( x ^{2} - 2 x + 4 \right) + 2 bx ( x + 2 )$ $= ( x + 2 ) \left\{ ax ^{2} - 2 ( a - b ) x + 4 a \right\}$ $= 0$ 이므로 이차방정식 $\left. ax ^{2} - 2 ( a - b ) x + 4 a = 0 \right.$ $( a \ne 0 )$ 은 $- 2$가 아니고 정수인 서로 다른 두 근을 가져야 한다. 이때, 근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 곱이 $\displaystyle \frac{4 a}{a} = 4$이므로 가능한 서로 다른 두 근은 $x = 1$, $x = 4$ 또는 $x = \mathit{-} 1$, $x = \mathit{-} 4$ 이다. 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 합은 $\displaystyle \frac{2 ( a - b )}{a} = 5$ 또는 $\displaystyle \frac{2 ( a - b )}{a} = \mathit{-} 5$ 이어야 하므로 $\displaystyle b = \mathit{-} \frac{3}{2} a$ 또는 $\displaystyle b = \frac{7}{2} a$ $( a \ne 0 )$ (ⅰ) $\displaystyle b = \mathit{-} \frac{3}{2} a$일 때 $a = 32$이면 $\displaystyle b = \mathit{-} \frac{3}{2} \times 32 = \mathit{-} 48$이므로 순서쌍 $( a , b )$는 $( 2 , - 3 )$, $( 4 , - 6 )$, $\cdots$, $( 32 , - 48 )$, $( - 2 , 3 )$, $( - 4 , 6 )$, $\cdots$, $( - 32 , 48 )$ 의 $32$개이다. (ⅱ) $\displaystyle b = \frac{7}{2} a$일 때 $a = 14$이면 $\displaystyle b = \frac{7}{2} \times 14 = 49$이므로 조건을 만족시키는 순서쌍 $( a , b )$는 $( 2 , 7 )$, $( 4 , 14 )$, $\cdots$, $( 14 , 49 )$, $( - 2 , - 7 )$, $( - 4 , - 14 )$, $\cdots$, $( - 14 , - 49 )$ 의 $14$개이다. (ⅰ), (ⅱ)에 의해 조건을 만족하는 순서쌍 $( a , b )$의 개수는 $32 + 14 = 46$이다.