삼차방정식 정수근

삼차방정식을 이해하여 미지수의 값을 구한다. $x$에 대한 방정식 $x ^{3} + ax ^{2} + bx - 3 a = 0$이 $a$를 한 근으로 가지므로 $a ^{3} + a ^{3} + ab - 3 a = a \left( 2 a ^{2} + b - 3 \right) = 0$에서 $a = 0$ 또는 $2 a ^{2} + b - 3 = 0$ (ⅰ) $a = 0$인 경우 $x ^{3} + ax ^{2} + bx - 3 a = x ^{3} + bx = x \left( x ^{2} + b \right)$에서 방정식 $x ^{3} + ax ^{2} + bx - 3 a = 0$이 서로 다른 세 정수를 근으로 가지므로 $b < 0$ 그런데 $x ^{3} + bx ^{2} - 2 ax - 2 ab = x ^{3} + bx ^{2} = x ^{2} \left( x + b \right)$에서 $b \neq 0$이므로 방정식 $x ^{3} + bx ^{2} - 2 ax - 2 ab = 0$은 서로 다른 두 정수 $- b$, $0$을 근으로 가진다. 그러므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $2 a ^{2} + b - 3 = 0$인 경우 $b = - 2 a ^{2} + 3$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $x ^{3} + ax ^{2} + \left( - 2 a ^{2} + 3 \right) x - 3 a = \left( x - a \right) \left( x ^{2} + 2 ax + 3 \right) = 0$에서 방정식 $\left( x - a \right) \left( x ^{2} + 2 ax + 3 \right) = 0$이 $a$를 포함한 서로 다른 세 정수를 근으로 가지므로 방정식 $x ^{2} + 2 ax + 3 = 0$이 $a$가 아닌 서로 다른 두 정수를 근으로 가져야 하고, 그 곱은 $3$이다. 따라서 $x ^{2} + 2 ax + 3 = \left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right)$ 또는 $x ^{2} + 2 ax + 3 = \left( x + 1 \right) \left( x + 3 \right)$이다. ① $x ^{2} + 2 ax + 3 = \left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right)$일 때 $a = - 2$이고, 이를 ㉠에 대입하면 $b = - 5$ $x ^{3} + bx ^{2} - 2 ax - 2 ab$$= \left( x + b \right) \left( x ^{2} - 2 a \right)$ $= \left( x - 5 \right) \left( x ^{2} + 4 \right)$ 에서 $x ^{3} + bx ^{2} - 2 ax - 2 ab = 0$은 정수인 근을 오직 하나만 가지므로 조건을 만족시킨다. ② $x ^{2} + 2 ax + 3 = \left( x + 1 \right) \left( x + 3 \right)$일 때 $a = 2$이고, 이를 ㉠에 대입하면 $b = - 5$ $x ^{3} + bx ^{2} - 2 ax - 2 ab$$= \left( x + b \right) \left( x ^{2} - 2 a \right)$ $= \left( x - 5 \right) \left( x + 2 \right) \left( x - 2 \right)$ 에서 $x ^{3} + bx ^{2} - 2 ax - 2 ab = 0$은 서로 다른 세 정수를 근으로 가지므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅰ), (ⅱ)에서 $a = - 2$, $b = - 5$이므로 $a - b = 3$