공통수학1여러 가지 방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼차방정식 허근과 켤레

문제

삼차방정식 x3−4x2+4x−3=0x ^{3} - 4 x ^{2} + 4 x - 3 = 0의 한 허근이 α\alpha라 한다. 이 때, α‾α+αα‾\displaystyle \frac{\overline{\alpha}}{\alpha} + \frac{\alpha}{\overline{\alpha}}의 값은? (단, α‾\displaystyle \overline{\alpha}는 α\alpha의 켤레복소수) [3점] ①00②11③−1- 1④22⑤−2- 2

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③

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해설

[출제의도] 삼차방정식을 인수분해하여 근과 계수와의 관계 적용하기 x3−4x2+4x−3=(x−3)(x2−x+1)=0x ^{3} - 4 x ^{2} + 4 x - 3 = ( x - 3 ) ( x ^{2} - x + 1 ) = 0이 되어 α\alpha는 x2−x+1=0x ^{2} - x + 1 = 0의 근이다. 따라서 α‾\displaystyle \overline{\alpha}도 근임을 알 수 있다. 따라서 근과 계수와의 관계에서 α+α‾=1,αα‾=1\displaystyle \alpha + {\overline{\alpha}} = 1 , \alpha \overline{\alpha} = 1이 되어 주어진 식은 α‾α+αα‾=\displaystyle \frac{\overline{\alpha}}{\alpha} + \frac{\alpha}{\overline{\alpha}} =α‾2+α2αα‾\displaystyle \frac{{\overline{\alpha}} ^{2} + \alpha ^{2}}{\alpha \overline{\alpha}}=(α+α‾)2−2αα‾=1−2=−1\displaystyle = \left( \alpha + \overline{\alpha} \right) ^{2} - 2 \alpha \overline{\alpha} = 1 - 2 = - 1 임을 알 수 있다.

태그

#삼차방정식#켤레복소수

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