삼차방정식 허근 조건

[출제의도] 삼차방정식의 근의 조건을 만족시키는 정수의 개수를 구한다. $f ( x ) = x ^{3} + ( a - 1 ) x ^{2} + a x - 2 a$라 하면 $f ( 1 ) = 1 + \left( a - 1 \right) + a - 2 a = 0$ 이므로 인수정리에 의하여 다항식 $f \left( x \right)$는 $x - 1$을 인수로 갖는다. 조립제법을 이용하여 인수분해하면

∴ $f ( x ) = ( x - 1 ) ( x ^{2} + a x + 2 a )$ 삼차방정식 $( x - 1 ) ( x ^{2} + a x + 2 a ) = 0$이 한 실근과 서로 다른 두 허근을 가지려면 이차방정식 $x ^{2} + a x + 2 a = 0$이 서로 다른 두 허근을 가져야 한다. 이차방정식 $x ^{2} + a x + 2 a = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D = a ^{2} - 8 a < 0$ $a ( a - 8 ) < 0$ ∴ $0 < a < 8$ 따라서 정수 $a$는 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$의 $7$개다.