삼차방정식 허근 조건

방정식 $P \left( x \right) = 0$의 한 실근을 $\alpha$, 서로 다른 두 허근을 $\beta$, $\gamma$라 하면 방정식 $P \left( 3 x - 1 \right) = 0$의 세 근은 $\displaystyle \frac{\alpha + 1}{3}$, $\displaystyle \frac{\beta + 1}{3}$, $\displaystyle \frac{\gamma + 1}{3}$ 조건 (가)에 의하여 $\beta \gamma = 5$ $\cdots \cdots$ ㉠ 조건 (나)에 의하여 $\displaystyle \frac{\alpha + 1}{3} = 0$이고 $\displaystyle \frac{\beta + 1}{3} + \frac{\gamma + 1}{3} = 2$이므로 $\alpha = - 1$, $\beta + \gamma = 4$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$를 세 근으로 하고 삼차항의 계수가 $\mathrm{1}$인 삼차방정식은 $\left( x + 1 \right) \left( x ^{2} - 4 x + 5 \right) = 0$ $P \left( x \right) = \left( x + 1 \right) \left( x ^{2} - 4 x + 5 \right) = x ^{3} - 3 x ^{2} + x + 5$ $a = - 3$, $b = 1$, $c = 5$ 따라서 $a + b + c = 3$