삼차방정식 허근

[출제의도] 삼차방정식 이해하기 삼차방정식 $x ^{3} + x - 2 = \left( x - 1 \right) \left( x ^{2} + x + 2 \right) = 0$이므로 $\alpha$, $\beta$는 $x ^{2} + x + 2 = 0$의 두 허근이다. 근과 계수의 관계에서 $\alpha + \beta = \mathit{-} 1$, $\alpha \beta = 2$이므로 $\displaystyle \frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha ^{2} + \beta ^{2}}{\alpha \beta}$$\displaystyle = \frac{\left( \alpha + \beta \right) ^{2} - 2 \alpha \beta}{\alpha \beta}$$\displaystyle = \frac{1 - 4}{2}$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{3}{2}$이다. [다른 풀이] $\alpha$, $\beta$는 $x ^{2} + x + 2 = 0$의 두 허근이므로 $\alpha ^{2} + \alpha + 2 = 0$에서 $\alpha ^{2} = \mathit{-} \alpha - 2$이고, 같은 방법으로 $\beta ^{2} = \mathit{-} \beta - 2$이다. 따라서 $\displaystyle \frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha ^{2} + \beta ^{2}}{\alpha \beta} = \frac{- \left( \alpha + \beta \right) - 4}{\alpha \beta} = \mathit{-} \frac{3}{2}$이다.