삼차방정식 허근

[출제의도] 삼차방정식의 근 이해하기 $f \left( x \right) = x ^{3} - x ^{2} + kx - k$라 하면 $f \left( 1 \right) = 1 - 1 + k - k = 0$이므로 $x - 1$은 $f \left( x \right)$의 인수이다. 조립제법을 이용하여 $f \left( x \right)$를 인수분해하면

$f \left( x \right) = \left( x - 1 {) {\left( x ^{2} + k {)} \right.}} \right.$이다. ${\left( x - 1 {) {\left( x ^{2} + k {) = 0} \right.}} \right.}$에서 실근 $\alpha = 1$이고 허근 $3 i$는 $x ^{2} + k = 0$의 근이다. $\left( 3 i {) ^{2} + k = 0} \right.$이므로 $k = 9$이다. 따라서 $k + \alpha = 9 + 1 = 10$이다. [다른 풀이] $x ^{3} - x ^{2} + kx - k = 0$의 허근이 $3 i$이므로 $\left( 3 i {) ^{3} - {\left( 3 i {) ^{2} + 3 ki - k = 0} \right.}} \right.$, $\left( 9 - k {) + {\left( 3 k - 27 {) i = 0} \right.}} \right.$이다. $9 - k = 0$, $3 k - 27 = 0$이므로 $k = 9$이다. 방정식 $x ^{3} - x ^{2} + 9 x - 9 = 0$을 인수분해하면 $x ^{2} {\left( x - 1 {) + 9 {\left( x - 1 {) = 0} \right.}} \right.}$, $\left( x ^{2} + 9 {) \left( x - 1 {) = 0} \right.} \right.$ 이므로 방정식의 실근은 $1$이다. 따라서 $\alpha = 1$이므로 $k + \alpha = 9 + 1 = 10$이다.