공통수학1여러 가지 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼차방정식 허근

문제

복소수 z=a+biz = a + b i(aa, bb는 실수)가 다음 조건을 만족시킬 때, a+ba + b의 값은? (단, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1}이고, z‾\displaystyle \overline{z}는 zz의 켤레복소수이다.) [4점]

(가) zz는 방정식 x3−3x2+9x+13=0x ^{3} - 3 x ^{2} + 9 x + 13 = 0의 근이다. (나) z−z‾i\displaystyle \frac{z - {\overline{z}}}{i}는 음의 실수이다.

①−3- 3②−1- 1③11④33⑤55

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②

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해설

[출제의도] 삼차방정식의 허근과 관련된 문제를 해결한다. 조건 (가)에서 다항식 x3−3x2+9x+13x ^{3} - 3 x ^{2} + 9 x + 13을 조립제법을 이용하여 인수분해하면

−1- 111 −3- 3991313
−1- 144−13- 13
11−4- 4131300

x3−3x2+9x+13x ^{3} - 3 x ^{2} + 9 x + 13=(x+1)(x2−4x+13)= \left( x + 1 \right) \left( x ^{2} - 4 x + 13 \right) 이차방정식 x2−4x+13=0x ^{2} - 4 x + 13 = 0에서 x=2+3ix = 2 + 3 i 또는 x=2−3ix = 2 - 3 i 따라서 방정식 x3−3x2+9x+13=0x ^{3} - 3 x ^{2} + 9 x + 13 = 0의 세 근은 x=−1x = \mathit{-} 1 또는 x=2+3ix = 2 + 3 i 또는 x=2−3ix = 2 - 3 i 조건 (나)에서 z−z‾i\displaystyle \frac{z - \overline{z}}{i}=(a+bi)−(a−bi)i\displaystyle = \frac{\left( a + b i \right) - \left( a - b i \right)}{i}=2bii=2b\displaystyle = \frac{2 b i}{i} = 2 b z−z‾i\displaystyle \frac{z - \overline{z}}{i}가 음의 실수이므로 bb는 음수이다. 따라서 z=2−3iz = 2 - 3 i a=2a = 2, b=−3b = \mathit{-} 3 a+b=−1a + b = \mathit{-} 1

태그

#삼차방정식#켤레복소수

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