공통수학1여러 가지 방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼차방정식 허근

문제

삼차방정식 x3+x2+x−3=0x ^{3} + x ^{2} + x - 3 = 0의 두 허근을 각각 z1z _{1}, z2z _{2}라 할 때, z1z1‾+z2z2‾\displaystyle z _{1} {\overline{z _{1}}} + z _{2} {\overline{z _{2}}}의 값은? (\left( \right.단, z1‾\displaystyle {\overline{z _{1}}}, z2‾\displaystyle {\overline{z _{2}}}는 각각 z1z _{1}, z2z _{2}의 켤레복소수이다.)) [3점] ①22②44③66④88⑤1010

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③

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해설

[출제의도] 허근의 성질 이해하기 x3+x2+x−3=(x−1)(x2+2x+3)=0x ^{3} + x ^{2} + x - 3 = \left( x - 1 \right) \left( x ^{2} + 2 x + 3 \right) = 0이므로 z1z _{1}, z2z _{2}는 이차방정식 x2+2x+3=0x ^{2} + 2 x + 3 = 0의 두 허근이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 z1z2=3z _{1} z _{2} = 3이고 z1=z2‾,z2=z1‾\displaystyle z _{1} = \overline{z _{2}} , z _{2} = \overline{z _{1}} 따라서 z1z1‾+z2z2‾=2z1z2=6\displaystyle {z _{1}} \overline{z _{1}} + z _{2} \overline{z _{2}} = 2 z _{1} z _{2} = 6

태그

#삼차방정식#켤레복소수

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