삼차방정식 허근

[출제의도] 삼차방정식의 허근을 구한다. 방정식 $x ^{3} + 8 = 0$의 좌변을 인수분해하면 $( x + 2 ) ( x ^{2} - 2 x + 4 ) = 0$ 이므로 $x = \mathit{-} 2$ 또는 $x ^{2} - 2 x + 4 = 0$ $x ^{2} - 2 x + 4 = 0$의 근을 구하면 $\displaystyle x = 1 \pm \sqrt{3} i$ 따라서 방정식 $x ^{3} + 8 = 0$의 근은 $x = \mathit{-} 2$ 또는 $\displaystyle x = 1 + \sqrt{3} i$ 또는 $\displaystyle x = 1 - \sqrt{3} i$ 이때 $x = \mathit{-} 2 + 0 i$의 허수부분은 $0$, $\displaystyle x = 1 + \sqrt{3} i$의 허수부분은 $\displaystyle \sqrt{3}$, $\displaystyle x = 1 - \sqrt{3} i$의 허수부분은 $\displaystyle - \sqrt{3}$ 이다. 따라서 $\alpha$의 값은 $\displaystyle 1 + \sqrt{3} i$이므로 $\displaystyle \overline{\alpha} = 1 - \sqrt{3} i$ $\displaystyle \alpha - \overline{\alpha}$$\displaystyle = 1 + \sqrt{3} i - ( {\overline{1 + \sqrt{3} i}} )$$\displaystyle = 1 + \sqrt{3} i - ( 1 - \sqrt{3} i )$$\displaystyle = 2 \sqrt{3} i$