공통수학1여러 가지 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼차방정식 허근

문제

삼차방정식 $x ^{3} + 2 x ^{2} - 3 x - 10 = 0$ 의 서로 다른 두 허근을 $\alpha$ , $\beta$ 라 할 때, $\alpha ^{3} + \beta ^{3}$ 의 값은? [3점] ① $- 2$ ② $- 3$ ③ $- 4$ ④ $- 5$ ⑤ $- 6$

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③

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해설

[출제의도] 삼차방정식 이해하기 조립제법을 이용하면

$2$	$1$	$2$	$- 3$	$- 10$
		$2$	$8$	$10$
	$1$	$4$	$5$	$0$

에서 $x ^{3} + 2 x ^{2} - 3 x - 10 = \left( x - 2 \right) \left( x ^{2} + 4 x + 5 \right)$ 이므로 삼차방정식 $x ^{3} + 2 x ^{2} - 3 x - 10 = 0$ 의 두 허근은 이차방정식 $x ^{2} + 4 x + 5 = 0$ 의 두 허근이고 $\alpha + \beta = \mathit{-} 4$ , $\alpha \beta = 5$ 이다. 따라서 $\begin{aligned} \alpha ^{3} + \beta ^{3} & = \left( \alpha + \beta \right) ^{3} - 3 \alpha \beta \left( \alpha + \beta \right) \\ & = \left( - 4 \right) ^{3} - 3 \times 5 \times \left( - 4 \right) \\ & = \mathit{-} 4 \end{aligned}$ 이다.

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